6147. Расстояние между параллельными прямыми равно \frac{48}{5}
. На одной из них лежит точка C
, на другой — точки A
и B
, причём треугольник ABC
— равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, равен \frac{8}{3}
. Найдите AB
.
Ответ. 8
или 10
.
Решение. Заметим, что либо AC=BC
, либо AC=AB
.
Рассмотрим первый из этих случаев (рис. 1). Пусть M
и H
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
с боковой стороной AC
и основанием AB
соответственно, O
— центр вписанной окружности. Тогда CH
— высота, медиана и биссектриса треугольника ABC
. Обозначим \angle ACH=\alpha
. В прямоугольном треугольнике COM
известно, что
OM=\frac{8}{3},~OC=CH-OH=\frac{48}{5}-\frac{8}{3}=\frac{8\cdot13}{15},~\sin\alpha=\frac{OM}{OC}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{8\cdot13}{15}}=\frac{5}{13}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{12}{13},~\tg\alpha=\frac{5}{12},~AH=CH\tg\alpha=\frac{48}{5}\cdot\frac{5}{12}=4.
Следовательно AB=2AH=8
.
Рассмотрим второй случай (рис. 2). Пусть K
, L
и N
точки касания вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC
с боковыми сторонами AB
, AC
и основанием BC
соответственно, CH=\frac{48}{5}
— высота треугольника ABC
, OK=OL=ON=r=\frac{8}{3}
— радиус его вписанной окружности. Обозначим BK=BN=CN=CL=a
, AK=AL=b
, \angle ABC=\angle BCA=\beta
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{24}{5}(a+b),~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)\cdot r=\frac{8}{3}(2a+b).
Из равенства \frac{24}{5}(a+b)=\frac{8}{3}(2a+b)
получаем, что a=4b
. Тогда BN=a=4b
, AB=a+b=5b
, а так как BO
— биссектриса треугольника ANB
, то
\frac{AO}{ON}=\frac{AB}{BN}=\frac{5b}{4b}=\frac{5}{4},
значит, AN=\frac{9}{4}ON=\frac{9}{4}\cdot\frac{8}{3}=6
. По теореме Пифагора AB^{2}-BN^{2}=AN^{2}
, или 25b^{2}-16b^{2}=36
, откуда находим, что b=2
. Следовательно, AB=5b=10
.
(Заметим, что во втором случае треугольник ABC
— тупоугольный, так как AN\lt BN
).