6154. На стороне AB
треугольника ABC
взята такая точка D
, что окружность, проходящая через точки A
, C
и D
, касается прямой BC
. Найдите AD
, если AC=9
, BC=12
и CD=6
.
Ответ. 10.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BCD=\angle CAD=\angle CAB
, значит, треугольник ABC
подобен треугольнику CBD
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{AC}{CD}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}
. Тогда
AB=\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}\cdot12=18,~BD=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot12=8.
Следовательно,
AD=AB-BD=18-8=10.