6160. Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали — большему. Найдите углы трапеции.
Ответ. 72^{\circ}
, 72^{\circ}
, 108^{\circ}
, 108^{\circ}
.
Решение. Пусть AD\gt BC
— основания трапеции ABCD
, AC
и BD
— диагонали, причём AB=CD=BC
и AC=BD=AD
. Обозначим, \angle BAC=\angle ACB=\alpha
.
Тогда
\angle CAD=\angle ACB=\alpha,~\angle ACD=\angle ADC=\angle BAD=\alpha+\alpha=2\alpha.
Сумма углов треугольника CAD
равна 180^{\circ}
, поэтому 2\alpha+2\alpha+\alpha=180^{\circ}
, откуда находим, что \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=\angle ADC=2\alpha=72^{\circ},~\angle ABC=\angle BCD=180^{\circ}-2\alpha=108^{\circ}.