6170. Дан прямоугольный треугольник PQR
с прямым углом при вершине R
, RA
— его высота, QB
— медиана. Прямые AB
и QR
пересекаются в точке C
, лежащей на луче QR
. Окружность, проходящая через точки A
и B
, касается прямой QR
в точке D
. Найдите DR
, если известно, что BC=25
и AB=11
.
Ответ. 30\pm6\sqrt{14}
.
Решение. Отрезок AB
— медиана прямоугольного треугольника APB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BR=AB=11
(см. задачу 1109). Из прямоугольного треугольника BCR
находим, что
CR=\sqrt{BC^{2}-BR^{2}}=\sqrt{25^{2}-11^{2}}=\sqrt{504}=6\sqrt{14}.
По теореме о касательной и секущей
CD^{2}=BC\cdot AC=BC(BC+AB)=25(25+11)=25\cdot36,
значит, CD=\sqrt{25\cdot36}=30
.
Если точка R
лежит между точками C
и D
(рис. 1), то DR=CD-CR=30-6\sqrt{14}
.
Если точка C
лежит между D
и R
(рис. 2), то DR=CD+CR=30+6\sqrt{14}
.