6171. Дан прямоугольный треугольник FGH
с прямым углом при вершине G
, GK
— его высота, HM
— медиана. Прямые MK
и GH
пересекаются в точке L
, лежащей на луче GH
. Окружность, проходящая через точки M
и K
, касается прямой GH
в точке A
. Найдите AG
, если известно, что KL=4
, KM=5
.
Ответ. 2\sqrt{14}\pm6
.
Решение. Отрезок KM
— медиана прямоугольного треугольника FHK
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому MG=MK=5
(см. задачу 1109).
Из прямоугольного треугольника MGL
находим, что
GL=\sqrt{LM^{2}-MG^{2}}=\sqrt{9^{2}-5^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.
По теореме о касательной и секущей
AL^{2}=LK\cdot LM=LK(LK+KM)=4(4+5)=36,
значит, AL=\sqrt{36}=6
.
Если точка A
лежит между точками G
и L
(рис. 1), то
GA=GL-AL=2\sqrt{14}-6.
Если точка L
лежит между A
и G
(рис. 2), то
GA=GL+LA=2\sqrt{14}+6.