6174. Диаметр окружности, вписанной в треугольник PQR
, площадь которого равна 132, в 3 раза меньше высоты, проведённой из вершины P
. Известно, что QR=11
. Найдите сторону PQ
.
Ответ. 25 или 30.
Решение. Пусть PT
— высота треугольника PQR
, r
— радиус окружности, вписанной в этот треугольник, p
— полупериметр треугольника. Тогда
PT=\frac{2S_{\triangle PQR}}{PT}=\frac{2\cdot132}{11}=24,
поэтому, то 2r=\frac{1}{3}PT=8
, значит, r=4
.
Обозначим PR=x
, PQ=y
. Тогда
S_{\triangle PQR}=pr=\frac{x+y+11}{2}\cdot4=132,
откуда
x+y=55,~p=\frac{PR+PQ+QR}{2}=\frac{x+y+11}{2}=\frac{55+11}{2}=33.
По формуле Герона
S_{\triangle PQR}=\sqrt{p(p-PR)(p-PQ)(p-QR)}=
=\sqrt{33(33-x)(33-y)(33-11)}=11\sqrt{6(33-x)(33-y)}=132~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\sqrt{6(33-x)(33-y)}=11\cdot144~\Rightarrow~(33-x)(33-y)=264~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(33-x)(33-55+x)=18~\Rightarrow~x^{2}-55x+750=0.
Отсюда находим, что x=25
или x=30
.