6190. Расстояния от точки M
, расположенной внутри угла, равного 60^{\circ}
, до сторон угла равны 1 и 3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через точку M
.
Ответ. \frac{8\pm2\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть A
— вершина данного угла, B
и C
— проекции точки M
на стороны угла, BM=1
, CM=3
, E
— точка пересечения прямых AB
и CM
. Тогда \angle AEC=30^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников BME
и CAE
находим, что
ME=2BM=2,~AC=CE\tg30^{\circ}=(CM+ME)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=(3+2)\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}.
Пусть O
— центр окружности радиуса R
, вписанной в угол BAC
и проходящей через точку M
, P
— точка касания окружности с лучом AC
. Луч AO
— биссектриса угла BAC
, поэтому \angle PAO=30^{\circ}
. Тогда AP=OP\ctg30^{\circ}=R\sqrt{3}
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию PCMO
, в которой
OM=OP=R,~CM=3,~CP=|AC-AP|=\left|\frac{5}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right|.
Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на CM
. Тогда
MQ=|CM-CQ|=|CM-OP|=|3-R|,~OQ=CP=\left|\frac{5}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right|.
По теореме Пифагора MQ^{2}+OQ^{2}=OM^{2}
, или
(3-R)^{2}+\left(\frac{5}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right)^{2}=R^{2}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 3R^{2}-26R+\frac{52}{3}=0
, из которого находим, что R=\frac{8\pm2\sqrt{3}}{3}
. Условию задачи удовлетворяют две окружности.