6192. Две стороны треугольника равны 5 и 6, косинус угла между ними равен \frac{3}{5}
. Найдите сторону квадрата, все вершины которого расположены на сторонах треугольника.
Ответ. \frac{12}{5}
или \frac{120}{49}
.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
известно, что AB=6
, AC=5
, \angle BAC=\alpha
, \cos\alpha=\frac{3}{5}
. Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.
По теореме косинусов
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\alpha}=\sqrt{36+25-2\cdot6\cdot5\cdot\frac{3}{5}}=5,
значит, треугольник ABC
— равнобедренный.
Рассмотрим случай, когда сторона KL=x
квадрата KLMN
расположена на основании AB
треугольника ABC
(рис. 1), вершина M
— на боковой стороне AC
, а вершина N
— на боковой стороне BC
. Пусть высота CH
треугольника ABC
пересекается со стороной MN
квадрата в точке Q
. Тогда
CH=AC\sin\alpha=5\cdot\frac{4}{5}=4,~CQ=CH-QH=4-x.
Треугольник CMN
подобен треугольнику CAB
, поэтому \frac{CQ}{CH}=\frac{MN}{AB}
, или \frac{4-x}{4}=\frac{x}{6}
, откуда находим, что x=\frac{12}{5}
.
Пусть теперь сторона KL=y
квадрата KLMN
расположена на боковой стороне AC
(рис. 2), вершина M
— на боковой стороне BC
, а вершина N
— на основании AB
. Пусть высота BP
пересекает сторону MN
квадрата в точке F
. Тогда
BP=AB\sin\alpha=6\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{5},~BF=BP-FP=\frac{24}{5}-y.
Треугольник BNM
подобен треугольнику BAC
, поэтому \frac{BF}{BP}=\frac{MN}{AC}
, или \frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}=\frac{y}{5}
, откуда находим, что y=\frac{120}{49}
.
В случае, когда сторона квадрата расположена на боковой стороне BC
треугольника ABC
, получим тот же результат.