6198. Через вершину C
правильного шестиугольника ABCDEF
проведена прямая, пересекающая прямую BE
в точке P
. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:17
. Найдите отношение BP:PE
.
Ответ. 1:7
или 2:1
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, S
— его площадь, H
— точка пересечения диагоналей BE
и AC
. Площади частей, на которые прямая CP
разбивает шестиугольник, равны \frac{1}{18}S
и \frac{17}{18}S
.
Предположим, что точка B
— вершина меньшей по площади части шестиугольника (рис. 1). Тогда точка P
лежит между точками B
и H
, так как
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}=\frac{1}{6}S\gt\frac{1}{18}S,
значит, прямая CP
пересекает сторону AB
в некоторой точке Q
. При этом площадь треугольника BCQ
в три раза меньше площади треугольника ABC
, значит, AQ=2BQ
.
Треугольник OPC
подобен треугольнику BPQ
с коэффициентом 3 (OC\parallel BQ
, OC=AB=3BQ
). Обозначим PB=x
. Тогда
OP=3x,~OE=OB=4x,~PE=OE+OP=4x+3x=7x,
Следовательно, \frac{BP}{PE}=\frac{x}{7x}=\frac{1}{7}
.
Пусть теперь точка B
— вершина большей по площади части шестиугольника (рис. 2). Тогда точка P
лежит на продолжении диагонали BE
за точку E
, так как
S_{\triangle CDE}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}S\gt\frac{1}{18}S,
значит, прямая CP
пересекает сторону DE
в некоторой точке L
. При этом площадь треугольника CDL
в три раза меньше площади треугольника CDE
, значит, EL=2DL
.
Треугольник PLE
подобен треугольнику CLD
с коэффициентом 2 (PE\parallel CD
), значит, PE=2CD=BE
. Следовательно, \frac{BP}{PE}=\frac{BE+PE}{PE}=\frac{2PE}{PE}=2
.