6204. Дан выпуклый четырёхугольник ABMC
, в котором AB=BC
, \angle BAM=30^{\circ}
, \angle ACM=150^{\circ}
. Докажите, что AM
— биссектриса угла BMC
.
Решение. Первый способ. Пусть B'
образ вершины B
при симметрии относительно прямой AM
. Поскольку AB'=AB
и \angle BAM=30^{\circ}
, то ABB'
— равносторонний треугольник. Поэтому \angle ABB'=60^{\circ}
.
Поскольку BA=BB'=BC
, точки A
, B'
и C
лежат на окружности с центром B
. Вписанный в эту окружность угол ACB'
равен половине соответствующего центрального угла ABB'
, т. е.
\angle ACB'=\frac{1}{2}\angle ABB'=30^{\circ},
а так как \angle ACM=150^{\circ}
, то точка B'
лежит на прямой CM
. Луч MB'
(а значит, и луч MC
) симметричен лучу MB
относительно прямой AM
. Следовательно, MA
— биссектриса угла BMC
.
Второй способ. Опишем окружность около треугольника ACM
. Пусть O
— её центр. Поскольку \angle ACM=150^{\circ}
, то дуга AM
этой окружности, не содержащая точки C
, равна 300^{\circ}
. Поэтому дуга ACM
равна 60^{\circ}
. Значит, \angle AOM=60^{\circ}
и треугольник AOM
— равносторонний.
Поскольку \angle OAM=60^{\circ}
, а \angle BAM=30^{\circ}
, то AB
— биссектриса угла OAM
. Тогда треугольники AOB
и AMB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle AOB=\angle AMB
.
Треугольники AOB
и COB
равны по трём сторонам, поэтому \angle AOB=\angle COB
. Значит,
\angle AMB=\angle AOB=\frac{1}{2}\angle AOC.
С другой стороны, поскольку AOC
— центральный угол, а AMC
— вписанный, то \angle AMC=\frac{1}{2}\angle AOC
. Следовательно, \angle AMC=\angle AMB
, т. е. MA
— биссектриса угла BMC
.