6211. В треугольнике ABC
проведены биссектриса AK
, медиана BL
и высота CM
. Треугольник KLM
— равносторонний. Докажите, что треугольник ABC
— равносторонний.
Решение. Медиана ML
прямоугольного треугольника AMC
равна половине гипотенузы AC
(см. задачу 1109), т. е.
ML=AL=LC.
Поскольку треугольник KLM
— равносторонний, KL=LM
. Значит, медиана KL
треугольника AKC
равна половине стороны AC
. Поэтому треугольник AKC
— прямоугольный, AK\perp KC
. Тогда биссектриса AK
треугольника ABC
является его высотой. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC
.
Высота AK
равнобедренного треугольника ABC
является его медианой, значит, K
— середина BC
. Поэтому MK
— медиана прямоугольного треугольника BMC
. Тогда
BC=2MK=2KL=AC.
Следовательно, AB=BC=AC
, что и требовалось доказать.