6219. На стороне AB
треугольника ABC
взята точка P
, отличная от точек A
и B
, а на сторонах BC
и AC
— точки Q
и R
соответственно, причём четырёхугольник PQCR
— параллелограмм. Пусть отрезки AQ
и PR
пересекаются в точке M
, а отрезки BR
и PQ
— в точке N
. Докажите, что сумма площадей треугольников AMP
и BNP
равна площади треугольника CQR
.
Решение. Обозначим \frac{AP}{PB}=\frac{x}{y}
. Поскольку PR\parallel BC
и PQ\parallel AC
, то по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AM}{MQ}=\frac{AR}{RC}=\frac{AP}{PB}=\frac{x}{y},~\frac{BN}{NR}=\frac{BQ}{QC}=\frac{BP}{AP}=\frac{y}{x}.
Обозначим S_{\triangle ABC}=S
. Тогда
S_{\triangle AMP}=\left(\frac{AP}{AB}\right)^{2}S_{\triangle ABQ}=\left(\frac{x}{x+y}\right)^{2}\cdot\frac{y}{x+y}S=\frac{x^{2}y}{(x+y)^{3}}S,
S_{\triangle BNP}=\left(\frac{BP}{AB}\right)^{2}S_{\triangle ABR}=\left(\frac{y}{x+y}\right)^{2}\cdot\frac{x}{x+y}S=\frac{xy^{2}}{(x+y)^{3}}S,
S_{\triangle CQR}=\frac{CR}{CA}\cdot\frac{CQ}{CB}S_{\triangle ABC}=\frac{y}{x+y}\cdot\frac{x}{x+y}S=\frac{xy}{(x+y)^{2}}S
(см. задачу 3007). Следовательно,
S_{\triangle AMP}+S_{\triangle BNP}=\frac{x^{2}y}{(x+y)^{3}}S+\frac{xy^{2}}{(x+y)^{3}}S=\frac{x^{2}y+xy^{2}}{(x+y)^{3}}S=
=\frac{xy(x+y)}{(x+y)^{3}}S=\frac{xy}{(x+y)^{2}}S=S_{\triangle CQR},
что и требовалось доказать.