6223. В треугольнике ABC
с острым углом при вершине A
проведены биссектриса AE
и высота BH
. Известно, что \angle AEB=45^{\circ}
. Найдите угол EHC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AE
. Поскольку прямая, содержащая биссектрису угла, есть ось симметрии угла, то точка B'
лежит на AC
. При этом
\angle AEB'=\angle AEB=45^{\circ}~\Rightarrow\angle BEB'=90^{\circ}.
Треугольник BEB'
— равнобедренный и прямоугольный, поэтому \angle EBB'=45^{\circ}
.
Из точек E
и H
отрезок BB'
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BB'
. Вписанные в эту окружность углы EHB'
и EBB'
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle EHC=\angle EHB'=\angle EBB'=45^{\circ}.