6227. В равнобедренную трапецию ABCD
(AB=CD
) вписана окружность. Пусть M
— точка касания окружности со стороной CD
, K
— точка пересечения окружности с отрезком AM
, L
— точка пересечения окружности с отрезком BM
. Вычислите величину \frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}
.
Ответ. 10.
Решение. Пусть N
— середина основания AD
. Обозначим
AN=ND=DM=a,~AK=x,~AM=y,~\angle ADC=\alpha.
По теореме косинусов из треугольника ADM
находим, что
y^{2}=AM^{2}=AD^{2}+DM^{2}-2AD\cdot DM\cos\angle ADM=
=4a^{2}+a^{2}-4a^{2}\cos\alpha=a^{2}(5-4\cos\alpha).
По теореме о касательной и секущей
xy=AK\cdot AM=AN^{2}=a^{2}.
Поэтому
\frac{AM}{AK}=\frac{y}{x}=\frac{y^{2}}{xy}=\frac{a^{2}(5-4\cos\alpha)}{a^{2}}=5-4\cos\alpha.
Аналогично находим, что \frac{BM}{BL}=5+4\cos\alpha
. Следовательно,
\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL}=(5-4\cos\alpha)+(5+4\cos\alpha)=10.