6230. Точки K
и L
— середины сторон AB
и BC
четырёхугольника ABCD
. На стороне CD
выбрана такая точка M
, что CM:DM=2:1
. Известно, что DK\parallel BM
и AL\parallel CD
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— трапеция.
Решение. Обозначим MD=a
. Тогда CM=2a
. Пусть прямая AL
пересекает отрезки DK
и BM
в точках P
и Q
соответственно. Поскольку DK\parallel BM
и AL\parallel CD
, то DPQM
— параллелограмм, поэтому PQ=DM=a
, а так как K
— середина AB
, то AP=PQ=a
. Кроме того, LQ
— средняя линия треугольника BCM
, поэтому
QL=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}\cdot2a=a.
Значит,
AL=AP+PQ+QL=a+a+a=3a=CD.
Таким образом, противоположные стороны AL
и CD
четырёхугольника ALCD
параллельны и равны. Следовательно, ALCD
— параллелограмм, и CL\parallel AD
.
Поскольку L
— середина BC
и CL=AD
, сторона BC
четырёхугольника ABCD
с параллельными сторонами AD
и BC
больше стороны AD
. Следовательно, ALCD
— трапеция.