6233. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота CH
. Оказалось, что AH=BC
. Докажите, что биссектриса угла при вершине B
, высота, опущенная из вершины A
, и прямая, проходящая через точку H
и параллельная стороне BC
, пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что луч, проходящий через вершину B
и точку пересечения высоты AP
с прямой, проходящей через точку H
параллельно стороне BC
, есть биссектриса угла ABC
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения высоты AP
с прямой, проходящей через точку H
параллельно стороне BC
.
Поскольку KH\parallel BC
, то
\angle AKH=\angle APB=90^{\circ},~\angle AHK=\angle ABC,
а так как AH=BC
то прямоугольные треугольники AKH
и CHB
равны по гипотенузе и острому углу. Значит, KH=BH
, т. е. треугольник BKH
— равнобедренный. Поэтому
\angle CBK=\angle BKH=\angle HBK.
Следовательно, BK
— биссектриса угла ABC
.