6254. Отрезки AC
и BD
пересекаются в точке M
, причём AB=CD
и \angle ACD=90^{\circ}
. Докажите, что MD\geqslant MA
.
Решение. Первый способ. Пусть точка B'
симметрична точке B
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AD
. Тогда DB'=AB=CD
. Докажем, что точки B'
и D
не могут лежать по разные стороны от прямой AC
.
Действительно, если бы точки B'
и D
лежали по разные стороны от прямой AC
, то прямая AC
пересекала бы отрезок B'D
в некоторой его внутренней точке P
и было бы верно неравенство DB'\gt DP\geqslant CD
, так как CD
— перпендикуляр к AC
. Что невозможно.
Из доказанного следует, что луч AB'
проходит между сторонами угла CAD
, значит,
\angle ADM=\angle ADB=\angle DAB'\leqslant\angle CAD=\angle MAD.
Следовательно, AM\leqslant DM
.
Второй способ. Из теоремы синусов следует, что окружности, описанные около треугольников ABM
и CDM
, равны, а так как MD
— диаметр второй окружности, а AM
— хорда первой, то MD\geqslant MA
.