6258. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABC+\angle ABD=90^{\circ}
. На диагонали BD
отмечена точка E
, причём BE=AD
. Из неё на сторону AB
опущен перпендикуляр EF
. Докажите, что CD+EF\lt AC
.
Решение. На продолжении стороны CD
за точку D
отложим отрезок DK
, равный EF
. Тогда, так как четырёхугольник вписанный, то
\angle ADK=\angle ABC=90^{\circ}-\angle ABD=90^{\circ}-\angle FBE=\angle BEF.
Поэтому треугольник ADK
равен треугольнику BEF
по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle AKD=\angle BFE=90^{\circ}.
Поскольку гипотенуза меньше катета,
CD+EF=CD+DK=CK\lt AC.
Что и требовалось доказать.