6263. Пусть BC
— наибольшая сторона треугольника ABC
. Точка O
расположена внутри треугольника, и лучи AO
, BO
и CO
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Докажите, что OA'+OB'+OC'\lt BC
.
Решение. Лемма. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, меньше наибольшей из двух других сторон.
Доказательство. Если AM
— высота треугольника ABC
, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что AM
не высота (рис. 1). Тогда один из углов AMB
или AMC
— тупой. Пусть это угол AMB
. Тогда в треугольнике AMB
сторона AB
— наибольшая, так как она лежит против наибольшего угла. Аналогично рассматривается второй случай. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче (рис. 2). Поскольку BC
— наибольшая сторона треугольника ABC
, из доказанной леммы следует, что
AA'\lt BC,~BB'\lt BC,~CC'\lt BC.
Пусть прямые, проведённые через точку O
параллельно сторонам AB
и AC
, пересекают сторону BC
в точках X
и Y
соответственно. Тогда треугольник OXY
подобен треугольнику ABC
. Сторона XY
, соответствующая наибольшей стороне BC
треугольника ABC
, — наибольшая сторона треугольника OXY
. Поэтому XY\gt OA'
.
Пусть прямые, проведённые через точки X
и Y
параллельно прямым соответственно CC'
и BB'
пересекают стороны AB
и AC
в точках S
и T
соответственно. Тогда треугольник BXS
подобен треугольнику BCC'
, в котором сторона BC
— наибольшая. Значит, BX
— наибольшая сторона треугольника BXS
. Поэтому BX\gt SX=OC'
(так как SXOC'
— параллелограмм). Аналогично, YC\gt YT=OB'
. Следовательно,
OA'+OB'+OC'\lt XY+YC+BX=BC.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Более сильный результат: если AA'
— наибольшая из трёх чевиан AA'
, BB'
и CC'
, то OA'+OB'+OC'\leqslant AA'
.