6264. Проведена окружность S
с центром в вершине C
равнобедренного треугольника ABC
(AC=BC
). Радиус окружности меньше AC
. Найдите на этой окружности такую точку P
, чтобы касательная к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол APB
.
Решение. Докажем, что P
— точка пересечения данной окружности S
с описанной окружностью треугольника ABC
.
Продолжим высоту CH
треугольника ABC
до пересечения с описанной окружностью в точке D
. Тогда CD
— диаметр этой окружности, поэтому \angle CPD=90^{\circ}
. Значит, DP
— касательная к окружности S
. Осталось заметить, что D
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
. Следовательно, \angle APD=\angle BPD
(вписанные углы, опирающиеся на равные дуги), т. е. PD
— биссектриса угла APB
. Что и требовалось доказать.