6279. Пусть AB
— наименьшая сторона остроугольного треугольника ABC
. На сторонах BC
и AC
выбраны точки X
и Y
соответственно. Докажите, что длина ломаной AXYB
не меньше удвоенной длины стороны AB
.
Решение. Пусть A_{1}
— точка, симметричная вершине A
относительно прямой BC
, а B_{1}
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AC
. Тогда
AX+XY+YB\geqslant B_{1}A_{1}.
Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
. Для определённости будем считать, что \alpha\geqslant\beta
. Тогда \alpha
— наибольший угол треугольника, поэтому \alpha\geqslant60^{\circ}
. Тогда
\angle BAB_{1}=2\angle BAC=2\alpha\geqslant120^{\circ}.
Пусть AB=a
. Из равнобедренного треугольника BAB_{1}
находим, что
BB_{1}=2AB\sin\alpha\geqslant2a\sin60^{\circ}=a\sqrt{3}.
Рассмотрим треугольник A_{1}BB_{1}
. В нём
\angle A_{1}BB_{1}=\angle A_{1}BA-\angle ABB_{1}=2\beta-(90^{\circ}-\alpha)=
=2\beta+\alpha-90^{\circ}\gt\beta+\gamma+\alpha-90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда
A_{1}B_{1}\geqslant\sqrt{BA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a.
Следовательно,
AX+XY+YB\geqslant B_{1}A_{1}\geqslant2a=2AB.
Что и требовалось доказать.