6281. Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
. Через вершины B
и C
проведены параллельные прямые b
и c
, равноудалённые от вершины A
. На прямых b
и c
выбраны соответственно такие точки M
и N
, что отрезки LM
и LN
пересекаются со сторонами соответственно AB
и AC
и делятся ими пополам. Докажите, что LM=LN
.
Решение. Лемма. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. На сторонах AC
и BC
взяты точки B_{1}
и C_{1}
соответственно. Отрезки AM
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке P
. Тогда, если P
— середина B_{1}C_{1}
, то B_{1}C_{1}\parallel BC
.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда через точку B_{1}
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть она пересекает сторону AC
в точке C_{1}'
, а отрезок AM
— в точке P'
.
По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) P'
— середина B_{1}C_{1}'
. Значит, PP'
— средняя линия треугольника B_{1}C_{1}C_{1}'
. Поэтому C_{1}C_{1}'\parallel PP'
, что невозможно, так как прямые C_{1}C_{1}'
и PP'
пересекаются в точке B
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Пусть отрезки AB
и LM
пересекаются в точке Y
(середина ML
), отрезки AC
и LN
— в точке Z
(середина NL
), а прямые AB
и c
— в точке X
. Обозначим через P
и Q
основания перпендикуляров, опущенных из точки A
на прямые b
и c
соответственно.
Прямоугольные треугольники APB
и AQX
равны по катету (AP=AQ
) и прилежащему острому углу. Поэтому точка A
— середина отрезка BX
. Заметим, что отрезок LN
с концами на сторонах BC
и CX
треугольника BCX
делится медианой CA
пополам. Тогда по доказанной лемме LN\parallel AB
. Аналогично докажем, что LM\parallel AC
. Значит, четырёхугольник AYLZ
— параллелограмм. Его диагональ AL
— биссектриса угла YAZ
, поэтому AYLZ
— ромб. Следовательно,
LM=2LY=2LZ=LN.
Что и требовалось доказать.