6282. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность S
с центром O
. Биссектриса угла ABD
пересекает сторону AD
и окружность S
в точках K
и M
соответственно. Биссектриса угла CBD
пересекает сторону CD
и окружность S
в точках L
и N
соответственно. Известно, что прямые KL
и MN
параллельны. Докажите, что описанная окружность треугольника MON
проходит через середину отрезка BD
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке B
, переводящую точку L
в точку N
. При этой гомотетии прямая KL
переходит в параллельную ей прямую MN
, луч BK
— в себя, точка K
— в точку M
, точка D
— в некоторую точку D'
. Тогда MD'\parallel AD
и ND'\parallel CD
.
Точка M
— середина дуги AD
, не содержащей точки B
, так как BM
— биссектриса вписанного угла ABD
. Поэтому OM\perp AD
, а значит, OM\perp MD'
. Аналогично, ON\perp ND'
.
Из точек M
и N
отрезок OD'
виден под прямым углом, поэтому точки M
и N
лежат на окружности с диаметром OD'
. Поскольку около треугольника можно описать единственную окружность, точка D'
лежит на описанной окружности S'
треугольника MON
.
Пусть E
— отличная от D'
точка пересечения отрезка BD'
с окружностью S'
. Тогда \angle D'EO=90^{\circ}
, так как OD'
— диаметр окружности S'
. Перпендикуляр OE
, опущенный из центра O
окружности S
на хорду BD
, делит её пополам. Следовательно, E
— середина BD
. Что и требовалось доказать.