6295. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. Точки K
и M
— середины отрезков AB
и A_{1}B_{1}
соответственно. Отрезки AA_{1}
и KM
пересекаются в точке L
. Докажите, что точки A
, K
, L
и B_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Середина K
стороны AB
— центр этой окружности, KB_{1}
и KA_{1}
— радиусы, A_{1}KB_{1}
— центральный угол, A_{1}AB_{1}
— вписанный угол.
Медиана KM
равнобедренного треугольника A_{1}KB_{1}
является его биссектрисой, поэтому
\angle LAB_{1}=\angle A_{1}AB_{1}=\frac{1}{2}\angle A_{1}KB_{1}=\angle MKB_{1}=\angle LKB_{1},
т. е. из точек K
и A
, лежащих по одну сторону от прямой LB_{1}
, отрезок LB_{1}
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, K
, L
и B_{1}
лежат на одной окружности.