6311. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Описанные окружности треугольников AOB
и COD
пересекаются на стороне AD
. Докажите, что AO\gt AB
.
Решение. Пусть K
— вторая точка пересечения указанных окружностей. По свойству вписанного четырёхугольника \angle AKO=180^{\circ}-\angle ABO
, поэтому \angle DKO=180^{\circ}-\angle AKO=\angle ABO
.
Заметим, что \angle COD\lt\angle DKO
(оба этих угла вписаны в окружность, причём первый из них опирается на дугу CD
, а второй — на дугу OCD
), поэтому
\angle AOB=\angle COD\lt\angle DKO=\angle ABO.
Следовательно, AO\gt AB
(в треугольнике ABO
против большего угла ABO
лежит большая сторона AO
).