6312. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбраны точки C_{1}
и B_{1}
соответственно. Отрезки BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке O
. На плоскости взята такая точка D
, что AB_{1}DC_{1}
— параллелограмм. Докажите, что если D
лежит внутри треугольника ABC
, то площадь четырёхугольника AB_{1}OC_{1}
меньше площади треугольника BOC
.
Решение. Прямые DB_{1}
и AB
параллельны, поэтому S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABB_{1}}
(у треугольников ABD
и ABB_{1}
общее основание AB
и равные высоты, опущенные на это основание). Аналогично, S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ACC_{1}}
, поэтому
S_{ABDC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABB_{1}}+S_{\triangle ACC_{1}}.
Следовательно, S_{\triangle ABC}\gt S_{\triangle ABB_{1}}+S_{\triangle ACC_{1}}
. Тогда
S_{\triangle BOC}+S_{\triangle BOC_{1}}+S_{\triangle ACC_{1}}=S_{\triangle ABC}\gt S_{\triangle ABB_{1}}+S_{\triangle ACC_{1}}=S_{AB_{1}OC_{1}}+S_{\triangle BOC_{1}}+S_{\triangle ACC_{1}}.
Отнимая от крайних частей этого неравенства сумму S_{\triangle BOC_{1}}+S_{\triangle ACC{1}}
, получим, что S_{\triangle BOC}\gt S_{AB_{1}OC_{1}}
.