6313. В остроугольном треугольнике ABC
на сторонах AC
и AB
отметили точки K
и L
соответственно, причём прямая KL
параллельна BC
и KL=KC
. На стороне BC
выбрана точка M
так, что \angle KMB=\angle BAC
. Докажите, что KM=AL
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точек K
и L
на BC
и AC
соответственно.
Решение. Пусть KP
и LQ
— высоты треугольников KMC
и LAK
. Прямые KL
и BC
параллельны, поэтому \angle KCM=\angle AKL
, значит, прямоугольные треугольники CKP
и KLQ
равны по гипотенузе (CK=KL
) и острому углу. Тогда KP=LQ
, поэтому прямоугольные треугольники KPM
и LQA
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, KM=AL
.