6340. Внутри треугольника ABC
отмечена точка M
так, что при этом \angle BAM=\angle ABC
, \angle AMB=100^{\circ}
, \angle ACB=70^{\circ}
. Докажите, что BM\lt AC
.
Решение. На луче BC
отложим отрезок BK
, равный AM
. Докажем, точка K
лежит на стороне BC
. Действительно, треугольник AKB
равен треугольнику BMA
по двум сторонам и углу между ними, значит, \angle BAK=\angle MBA\lt\angle CBA=\angle BAM\lt BAC
. Следовательно, луч AK
проходит между сторонами угла BAC
, поэтому точка K
лежит на отрезке BC
.
Из равенства треугольников AKB
и BMA
следует, что \angle AKB=\angle AMB=100^{\circ}
, поэтому
\angle AKC=180^{\circ}-\angle AKB=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}\gt70^{\circ}=\angle ACK.
В треугольнике AKC
против большего угла AKC
лежит большая сторона AC
, т. е. AC\gt AK=BM
. Что и требовалось доказать.