6378. Окружность S
проходит через вершину C
прямого угла и пересекает его стороны в точках, удалённых от вершины C
на расстояния 40 и 42. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S
.
Ответ. 24
или 140
.
Решение. Пусть окружность S
с центром O
и радиусом R
пересекает стороны данного прямого угла в точках A
и B
, AC=42
, BC=40
, искомая окружность с центром Q
касается сторон AC
и BC
угла ACB
в точках N
и K
соответственно, а окружности S
— в точке M
.
Точка O
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, поэтому O
— середина его гипотенузы AB
,
R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{42^{2}+40^{2}}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21^{2}+20^{2}}=29.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки O
, Q
и M
лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности S
на прямую BC
. Тогда OH
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому OH=\frac{1}{2}AC=21
и CH=\frac{1}{2}BC=20
, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то \angle QCK=45^{\circ}
, поэтому CK=QK=r
.
Опустим перпендикуляр QF
из центра искомой окружности на прямую OH
. Тогда
OF=|OH-FH|=|OH-QK|=|21-r|,~QF=KH=|r-20|.
Предположим, что искомая окружность и окружность S
касаются внутренним образом (рис. 1). Тогда OQ=OM-QM=R-r=29-r
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ
. По теореме Пифагора OQ^{2}=OF^{2}+QF^{2}
или (29-r)^{2}=(21-r)^{2}+(r-20)^{2}
, откуда находим, что r=24
.
Если же искомая окружность касается данной внешним образом (рис. 2), то OQ=OM+QM=R+r=29+r
. Тогда из соответствующего уравнения (29+r)^{2}=(21-r)^{2}+(r-20)^{2}
находим, что r=140
.