6384. На плоскости лежит квадрат со стороной a
. Поворотом в этой плоскости квадрата вокруг одной из его вершин на угол 30^{\circ}
получается другой квадрат. Найдите периметр четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух квадратов.
Ответ. \frac{2a(3+\sqrt{3})}{3}
.
Решение. Пусть при повороте квадрата ABCD
вокруг вершины A
на угол 30^{\circ}
вершины D
, C
и B
переходят в вершины соответственно D'
, C'
и B'
квадрата AB'C'D'
, и при этом отрезки C_{1}D_{1}
и BC
пересекаются в точке M
. Тогда прямоугольные треугольники AD_{1}M
и ABM
равны по гипотенузе и катету, поэтому
\angle BAM=\angle D_{1}AM=\frac{1}{2}\angle BAD_{1}=\frac{1}{2}(90^{\circ}-30^{\circ})=30^{\circ}.
Тогда
D_{1}M=BM=AB\tg30^{\circ}=a\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, искомый периметр равен
2AB+2BM=2a+\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a(3+\sqrt{3})}{3}.
против часовой стрелки.