6387. В треугольнике ABC
сторона AB
равна 3, \angle ACB=\arcsin\frac{3}{5}
. Хорда KN
окружности, описанной около треугольника ABC
, пересекает отрезки AC
и BC
в точках M
и L
соответственно. Известно, что \angle ABC=\angle CML
, площадь четырёхугольника ABLM
равна 2, а LM=1
. Найдите высоту треугольника KNC
, опущенную из вершины C
, и его площадь.
Ответ. \frac{1}{2}
, \frac{3}{4}
.
Решение. Пусть точка K
лежит на меньшей дуге AC
окружности, описанной около треугольника ABC
, а точка M
— между точками K
и L
.
Треугольник LMC
подобен треугольнику ABC
по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{LM}{AB}=\frac{1}{3}
, значит, площадь треугольника ABC
в 9 раз больше площади треугольника LMC
и поэтому составляет \frac{9}{8}
площади четырёхугольника ABLM
, т. е. равна \frac{9}{8}\cdot2=\frac{9}{4}
.
С другой стороны, S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH
, где CH
высота треугольника ABC
, а AB=3
. Из уравнения \frac{1}{2}AB\cdot3=\frac{9}{4}
находим, что
CH=\frac{9}{2\cdot3}=\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2},
а так как высота CP
треугольника LMC
равна \frac{1}{3}CH=\frac{1}{2}
, то высота треугольника KNC
, проведённая из вершины C
, также равна \frac{1}{2}
.
Пусть R
— радиус окружности. Тогда
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{3}{2\cdot\frac{3}{5}}=\frac{5}{2}.
Пусть \smile CN
, \smile AK
, \smile AC
и \smile CK
— угловые величины меньших дуг CN
, AK
, AC
и CK
соответственно. Тогда
\angle CMN=\frac{1}{2}(\smile CN+\smile AK),~\angle CBA=\frac{1}{2}\smile AC=\frac{1}{2}(\smile AK+\smile CK)
(см. задачу 26), а так как \angle CMN=\angle CBA
, то \smile CN+\smile AK=\smile AK+\smile CK
, поэтому \smile CN=\smile CK
. Значит, треугольник KNC
— равнобедренный. Основание P
его высоты — середина хорды KN
. В то же время, основание перпендикуляра, опущенного из центра O
окружности на хорду KN
, — также середина KN
, значит, точки O
, P
и C
лежат на одной прямой.
Из прямоугольного треугольника OPN
находим, что
PN=\sqrt{ON^{2}-OP^{2}}=\sqrt{R^{2}-(OC-CP)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle KNC}=PN\cdot CP=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.