6390. Теорема Паскаля. Докажите, что во всяком вписанном шестиугольнике точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны (если эти стороны не параллельны), лежат на одной прямой.
Указание. Примените теорему Менелая и теорему о равенстве произведений всей секущей на её внешнюю часть.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Пусть
ABCDEF
— вписанный шестиугольник, прямые
AB
и
DE
пересекаются в точке
L
, прямые
BC
и
EF
— в точке
M
, прямые
CD
и
AF
— в точке
N
. Требуется доказать, что точки
L
,
M
и
N
лежат на одной прямой.
Пусть прямые
CD
и
EF
пересекаются в точке
I
, прямые
AB
и
CD
— в точке
J
, прямые
AB
и
EF
— в точке
K
. Из теоремы Менелая (см. задачу 1622), применённой к треугольнику
IJK
, следует, что точки
L
,
M
и
N
лежат на одной прямой, если
\frac{LJ}{LK}\cdot\frac{MK}{MI}\cdot\frac{IN}{NJ}=1
.
Докажем это равенство. Применяя теорему Менелая к треугольнику
IJK
и прямым
DE
,
BC
и
AF
, получим, что
\frac{ID}{DJ}\cdot\frac{JL}{LK}\cdot\frac{KE}{EI}=1,~\frac{JB}{BK}\cdot\frac{KM}{MI}\cdot\frac{IC}{CJ}=1,~\frac{JA}{AK}\cdot\frac{KF}{FI}\cdot\frac{IN}{NJ}=1.

Перемножив эти три равенства и учитывая, что
ID\cdot IC=IE\cdot IF,~JB\cdot JA=JC\cdot JD,~KA\cdot KB=KF\cdot KE

(равенство произведений всей секущей на её внешнюю часть), получим:
1=\left(\frac{ID}{DJ}\cdot\frac{JL}{LK}\cdot\frac{KE}{EI}\right)\cdot\left(\frac{JB}{BK}\cdot\frac{KM}{MI}\cdot\frac{IC}{CJ}\right)\cdot\left(\frac{JA}{AK}\cdot\frac{KF}{FI}\cdot\frac{IN}{NJ}\right)=

=\left(\frac{ID\cdot IC}{IE\cdot IF}\right)\cdot\left(\frac{JB\cdot JA}{JC\cdot JD}\right)\cdot\left(\frac{KA\cdot KB}{KF\cdot KE}\right)\cdot\left(\frac{LJ}{LK}\cdot\frac{MK}{MI}\cdot\frac{IN}{NJ}\right)=

=1\cdot1\cdot1\cdot\frac{LJ}{LK}\cdot\frac{MK}{MI}\cdot\frac{IN}{NJ}=\frac{LJ}{LK}\cdot\frac{MK}{MI}\cdot\frac{IN}{NJ}.

Что и требовалось доказать.

Примечание. Приведённое доказательство годится и для самопересекающегося шестиугольника (рис. 2), а также для шестиугольника, у которого две противоположные стороны параллельны (рис. 3): если противоположные стороны
AB
и
DE
вписанного шестиугольника
ABCDEF
параллельны, прямые
AF
и
CD
пересекаются в точке
P
, а прямые
BC
и
EF
— в точке
Q
, то
PQ\parallel AB
.
Прямая, содержащая точки
L
,
M
и
N
, называется прямой Паскаля вписанного шестиугольника
ABCDEF
.