6395. В окружности проведён диаметр AB
, CD
— хорда, перпендикулярная AB
. Произвольная окружность касается хорды CD
и дуги CBD
. Докажите, что касательная к этой окружности, проведённая из точки A
, равна AC
Решение. Пусть окружность с центром O_{1}
касается хорды CD
в точке N
, а окружности с диаметром AB
— в точке K
. Тогда точки K
, O_{1}
и центр O
окружности с диаметром AB
лежат на одной прямой, а O_{1}N\parallel AB
. Равнобедренные треугольники AOK
и NO_{1}K
подобны, поэтому точки A
, N
и K
также лежат на одной прямой.
Вписанные углы AKC
и ADC
опираются на одну и ту же дугу, причём меньшие дуги AC
и AD
равны, поэтому \angle ACN=\angle ACD=\angle CDA=\angle AKC
, значит, треугольники ACN
и AKC
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий). Тогда \frac{AC}{AK}=\frac{AN}{AC}
, поэтому AC^{2}=AN\cdot AK
.
Пусть прямая, проходящая через точку A
, касается окружности с центром O_{1}
в точке P
. По теореме о касательной и секущей AP^{2}=AN\cdot AK=AC^{2}
. Что и требовалось доказать.