6402. Две окружности касаются в точке K
. Прямая, проходящая через точку K
, вторично пересекает эти окружности в точках A
и B
. Докажите, что касательные к окружностям, проведённые через точки A
и B
, параллельны.
Указание. Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай внешнего касания окружностей. Пусть точка A
лежит на окружности с центром O_{1}
, а точка B
— на окружности с центром O_{2}
. Поскольку точки O_{1}
, K
и O_{2}
лежат на одной прямой, а треугольники AO_{1}K
и BO_{2}K
— равнобедренные, то
\angle KAO_{1}=\angle AKO_{1}=\angle BKO_{2}=\angle KBO_{2}.
Пусть точки M
и N
лежат по разные стороны от прямой AB
на касательных к окружностям, проведённых соответственно в точках A
и B
. Поскольку
\angle MAO_{1}=\angle NBO_{2}=90^{\circ},
то из равенства углов KAO_{1}
и \angle KBO_{2}
, следует, что
\angle MAK=\angle NBK.
Следовательно, прямые AM
и BN
параллельны.
Аналогично для случая внутреннего касания.
Второй способ. Данные окружности гомотетичны относительно точки K
. Следовательно, точки A
и B
также гомотетичны относительно точки K
. При рассматриваемой гомотетии указанные касательные переходят друг в друга, так как каждая из них имеет единственную общую точку со своей окружностью. Значит, эти касательные параллельны.