6405. На каждом из оснований AD
и BC
трапеции ABCD
построены вне трапеции равносторонние треугольники. Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Указание. Пусть AD
и BC
— основания трапеции ABCD
. Рассмотрите гомотетию относительно точки пересечения диагоналей трапеции, переводящую точку A
в точку C
.
Решение. Пусть BMC
и DNA
— указанные равносторонние треугольники, O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
.
При гомотетии относительно точки O
, переводящей точку A
в точку C
, точка D
перейдёт в точку B
, отрезок AD
— в отрезок CB
, луч AN
— в луч CM
(так как прямые AN
и CM
параллельны), а луч DN
— в луч BM
. Поэтому точка N
перейдёт в точку M
.
Следовательно, прямая MN
проходит через центр рассматриваемой гомотетии, т. е. через точку O
.