6413. Дан остроугольный треугольник ABC
. С помощью циркуля и линейки постройте сторонах AB
и BC
соответственно такие точки X
и Y
, для которых AX=XY=YC
.
Указание. Примените гомотетию с центром в точке A
.
Решение. Предположим, что нужные точки X
и Y
построены. Через произвольную точку Y_{1}
луча AY
проведём прямые, параллельные XY
и BC
до пересечения со сторонами AB
и AC
соответственно в точках X_{1}
и C_{1}
. Тогда четырёхугольник AXYC
гомотетичен четырёхугольнику AX_{1}Y_{1}C_{1}
относительно центра A
. Отсюда вытекает следующий способ построения.
На лучах AB
и CB
отложим равные отрезки AX_{1}
и CZ_{1}
. Построим окружность с центром в точке X_{1}
и радиусом X_{1}A
. Через точку Z_{1}
проведём прямую, параллельную AC
до пересечения с этой окружностью в точке Y_{1}
. Тогда в четырёхугольнике AX_{1}Y_{1}C_{1}
AX_{1}=X_{1}Y_{1}=Y_{1}C_{1}.
Пусть прямая AY_{1}
пересекает сторону BC
в точке Y
. Строим образ четырёхугольника AX_{1}Y_{1}C_{1}
при гомотетии с центром A
, переводящей точку Y_{1}
в точку Y
. Для этого через точку Y
проводим прямую, параллельную Y_{1}X_{1}
. Эта прямая пересекает сторону AB
в искомой точке X
.