6440. Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB
в отрезок A_{1}B_{1}
, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA_{1}
в отрезок BB_{1}
.
Решение. Пусть O
— центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB
в отрезок A_{1}B_{1}
. Тогда треугольник A_{1}OB_{1}
подобен треугольнику AOB
, поэтому
\angle A_{1}OB_{1}=\angle AOB,~\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{OA}{OA_{1}}.
значит,
\angle BOB_{1}=\angle BOA_{1}+\angle A_{1}OB_{1}=\angle BOA_{1}+\angle AOB=\angle AOA_{1},
и треугольник BOB_{1}
подобен треугольнику AOA_{1}
. Следовательно, O
— центр поворотной гомотетии, переводящей сторону AA_{1}
в сторону BB_{1}
. Что и требовалось доказать.