6450. В выпуклом семиугольнике A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}
диагонали A_{1}A_{3}
, A_{2}A_{4}
, A_{3}A_{5}
, A_{4}A_{6}
, A_{5}A_{7}
, A_{6}A_{1}
и A_{7}A_{2}
равны между собой. Диагонали A_{1}A_{4}
, A_{2}A_{5}
, A_{3}A_{6}
, A_{4}A_{7}
, A_{5}A_{1}
, A_{6}A_{2}
и A_{7}A_{3}
тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний?
Ответ. Обязательно.
Решение. Достаточно доказать, что A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}
. Тогда из симметрии условия получим, что все стороны семиугольника равны.
Заметим, что треугольники A_{6}A_{1}A_{3}
, A_{7}A_{2}A_{4}
, A_{1}A_{3}A_{5}
, A_{2}A_{4}A_{6}
, A_{3}A_{5}A_{7}
, A_{4}A_{6}A_{1}
и A_{5}A_{7}A_{2}
равны по трём сторонам. Кроме того, эти треугольники равнобедренные. Если углы при основаниях этих равнобедренных треугольников равны \alpha
, а углы при вершинах равны \beta
, то
\angle A_{2}A_{4}A_{1}=\angle A_{2}A_{4}A_{6}-\angle A_{1}A_{4}A_{6}=\beta-\alpha=\angle A_{3}A_{5}A_{7}-\angle A_{2}A_{5}A_{7}=\angle A_{3}A_{5}A_{2},
поэтому треугольники A_{2}A_{4}A_{1}
и A_{3}A_{5}A_{2}
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}
.