6478. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AH_{A}
, BH_{B}
и CH_{C}
. Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения высот треугольников AH_{B}H_{C}
, BH_{A}H_{C}
и CH_{A}H_{B}
равен треугольнику H_{A}H_{B}H_{C}
.
Указание. Пусть P_{A}
, P_{B}
, P_{C}
и H
— точки пересечения высот треугольников AH_{B}H_{C}
, BH_{A}H_{C}
, CH_{A}H_{B}
и ABC
соответственно. Докажите, что четырёхугольник H_{A}P_{C}H_{B}H
— параллелограмм.
Решение. Пусть P_{A}
, P_{B}
, P_{C}
и H
— точки пересечения высот треугольников AH_{B}H_{C}
, BH_{A}H_{C}
, CH_{A}H_{B}
и ABC
соответственно. Поскольку H_{B}P_{C}\parallel HH_{A}
и H_{A}P_{C}\parallel HH_{B}
, то четырёхугольник H_{A}P_{C}H_{B}H
— параллелограмм. Аналогично докажем, что H_{C}P_{A}H_{B}H
— также параллелограмм. Значит,
H_{A}P_{C}=HH_{B}=H_{C}P_{A},~H_{A}P_{C}\parallel HH_{B}\parallel H_{C}P_{A}.
Поэтому четырёхугольник H_{A}P_{C}P_{A}H_{C}
— параллелограмм. Следовательно, P_{A}P_{C}=H_{A}H_{C}
.
Аналогично докажем, что P_{B}P_{C}=H_{B}H_{C}
и P_{A}P_{B}=H_{A}H_{B}
. Следовательно, треугольники P_{A}P_{B}P_{C}
и H_{A}H_{B}H_{C}
равны по трём сторонам.