6480. На сторонах треугольника ABC
во внешнюю сторону построены прямоугольники ABLK
, BCNM
и CAQP
. Докажите, что прямые, проходящие через вершины A
, B
и C
перпендикулярно соответственно KQ
, LM
и NP
, пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть два первых перпендикуляра пересекаются в точке D
. Обозначим AK=BL=x
, BM=CN=y
, AQ=CP=z
, \angle CAD=\alpha_{1}
, \angle DAB=\alpha_{2}
. Аналогично определим \beta_{1}
, \beta_{2}
и \gamma_{1}
, \gamma_{2}
. Тогда
\angle AQK=\angle CAD=\alpha_{1},~\angle QKA=\angle DAB=\alpha_{2}.
По теореме синусов из треугольника AQK
получаем, что \frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{x}{z}
. Аналогично \frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}=\frac{y}{x}
и \frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=\frac{z}{y}
. Значит,
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{z}{y}=1.
Следовательно, прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются в одной точке (см. задачу 1900).
Аналогично для любого другого случая.