6490. Внутри параллелограмма ABCD
выбрана точка K
таким образом, что середина отрезка AD
равноудалена от точек K
и C
, а середина отрезка CD
равноудалена от точек K
и A
. Точка N
— середина отрезка BK
. Докажите, что углы NAK
и NCK
равны.
Решение. Пусть M
— середина стороны CD
, а L
— середина стороны AD
. Достроим параллелограмм ABCD
до треугольника BA_{1}C_{1}
так, чтобы отрезок AC
был средней линией треугольника BA_{1}C_{1}
. Для этого через точку D
проведём прямую, параллельную AC
, и обозначим через A_{1}
и C_{1}
точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон BC
и BA
соответственно.
Четырёхугольники ACA_{1}D
и CAC_{1}D
— параллелограммы, а точки A
, M
и A_{1}
лежат на одной прямой. В треугольнике AKA_{1}
медиана KM
равна половине AM
стороны AA_{1}
, значит, \angle AKA_{1}=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Аналогично, \angle CKC_{1}=90^{\circ}
. Таким образом,
\angle CKA_{1}=90^{\circ}-\angle A_{1}KC_{1}.
Поскольку отрезки CN
и AN
— средние линии треугольников KBA_{1}
и BKC_{1}
, то CN\parallel KA_{1}
и AN\parallel KC_{1}
. Следовательно,
\angle NCK=\angle CKA_{1}=\angle C_{1}KA=\angle NAK.