6492. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N
. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K
, пересекает внешнюю окружность в точках A
и B
. Пусть M
— середина дуги AB
, не содержащей точку N
. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK
, не зависит от выбора точки K
на внутренней окружности.
Решение. Обозначим внешнюю окружность через \Omega
, внутреннюю \omega
, описанную окружность треугольника BKM
— \omega_{1}
, их радиусы — R
, r
и r_{1}
соответственно. Пусть отрезок BN
пересекает окружность \omega
в точке P
.
При гомотетии с центром в точке N
и коэффициентом \frac{r}{R}
окружность \omega
переходит в окружность \Omega
. Точка P
при этом переходит в точку B
, а касательная AB
к окружности \omega
, проведённая в точке K
, — в касательную l
к окружности \Omega
, параллельную AB
. Поскольку касательная l
параллельна хорде AB
, то точка касания — середина дуги AB
, не содержащей точку N
, т. е. точка M
. Значит, точки N
, K
и M
лежат на одной прямой.
Пусть \angle BMN=\alpha
. Из теоремы синусов следует, что
\frac{BK}{BN}=\frac{2r_{1}\sin\alpha}{2R\sin\alpha}=\frac{r_{1}}{R}.
Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP
переходит в отрезок NB
, то \frac{NP}{NB}=\frac{r}{R}
. По теореме о касательной и секущей BK^{2}=BP\cdot BN
. Значит,
\left(\frac{r_{1}}{R}\right)^{2}=\left(\frac{BK}{BN}\right)^{2}=\frac{BK^{2}}{BN^{2}}=\frac{BP\cdot BN}{BN^{2}}=\frac{BP}{BN}=\frac{BN-NP}{BN}=1-\frac{NP}{BN}=1-\frac{r}{R}.
Отсюда следует, что отношение \frac{r_{1}}{R}
не зависит от выбора точки K
, а значит, и r_{1}
не зависит от выбора точки K
.