6500. В прямоугольном треугольнике ABC
точка O
— середина гипотенузы AC
. На отрезке AB
взята точка M
, а на отрезке BC
— точка N
, причём угол MON
— прямой. Докажите, что AM^{2}+CN^{2}=MN^{2}
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно точки O
.
Решение. При симметрии относительно точки O
вершина A
переходит в вершину C
, точка M
— в некоторую точку M'
, отрезок AM
— в отрезок CM'
, равный AM
. При этом, поскольку AM\perp BC
и CM'\parallel AM
, то \angle M'CN=90^{\circ}
. Кроме того, в треугольнике MNM'
высота NO
является медианой, значит, M'N=MN
. Следовательно,
AM^{2}+CN^{2}=CM'^{2}+CN^{2}=M'N^{2}=MN^{2}.