6510. Диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Точка M
лежит на прямой AB
, причём \angle AMO=\angle MAD
. Докажите, что точка M
равноудалена от точек C
и D
.
Указание. Соедините середины сторон AB
и CD
.
Решение. Пусть P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и CD
параллелограмма ABCD
. Тогда PQ\parallel AD
и точка O
лежит на отрезке PQ
.
Предположим, что точка M
не лежит на отрезке AP
. Тогда
\angle MPO=\angle MAD=\angle AMO.
Поэтому треугольник MPO
равнобедренный, MO=PO
. Поскольку PO=OQ
, то в треугольнике PMQ
медиана MO
равна половине стороны PQ
. Значит, треугольник PMQ
прямоугольный (см. задачу 1188), MQ\perp MP
, а так как CD\parallel PM
, то MQ\perp CD
. Таким образом, MQ
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
. Следовательно, точка M
равноудалена от точек C
и D
.
Аналогично для случая, когда точка M
лежит на отрезке AP
.