6514. Диагональ AC
трапеции ABCD
равна боковой стороне CD
. Прямая, симметричная BD
относительно AD
, пересекает прямую AC
в точке E
. Докажите, что прямая AB
делит отрезок DE
пополам.
Решение. Через вершину B
проведём прямую, параллельную DE
. Пусть прямые AD
и AE
пересекают проведённую прямую в точках F
и G
соответственно. Поскольку треугольники AFG
и ADE
подобны, достаточно доказать, что B
— середина отрезка FG
.
Обозначим, \angle ADB=\alpha
, \angle CDB=\beta
. Тогда
\angle EDA=\angle ADB=\alpha,~\angle CBD=\angle ADB=\alpha,
\angle CBG=\angle ADE=\alpha,~\angle GFA=\angle CBG=\alpha,
а так как треугольник ACD
равнобедренный, то
\angle CAD=\angle ADC=\alpha+\beta.
Поскольку GAD
— внешний угол треугольника AFG
, то
\angle AGF=\angle GAD-\angle GFA=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta.
Отсюда следует равенство треугольников BCG
и BCD
. Значит, BG=BD
. Кроме того, из равенства углов BFD
и BDF
следует, что BF=BD
. Таким образом, BG=BD=BF
, т. е. B
— середина FG
.