6529. Вокруг треугольника ABC
описана окружность и через точки A
и B
к ней проведены касательные, которые пересекаются в точке M
. Точка N
лежит на стороне BC
, причём прямая MN
параллельна стороне AC
. Докажите, что AN=NC
.
Решение. Обозначим \angle MAB=\angle MBA=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACB=\angle MBA=\alpha.
Поскольку MN\parallel AC
, то
\angle MNB=\angle ACB=\alpha.
Тогда из точек N
и A
, лежащих по одну сторону от прямой BM
, отрезок BM
виден под одним и тем же углом, равным \alpha
. Значит, точки A
, N
, B
и M
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ANM
и ABM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ANM=\angle ABM=\alpha.
Значит,
\angle CAN=\angle ANM=\alpha=\angle ACN.
Тогда треугольник CAN
— равнобедренный. Следовательно, AN=NC
.