6532. На стороне BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
взяты точки E
и F
(точка E
ближе к точке B
, чем точка F
). Известно, что \angle BAE=\angle CDF
и \angle EAF=\angle FDE
. Докажите, что \angle FAC=\angle EDB
.
Решение. Поскольку \angle EAF=\angle FDE
, то из точек A
и D
, лежащих по одну сторону от прямой EF
, отрезок EF
виден под одним и тем же углом. Значит, точки A
, D
, E
и F
лежат на одной окружности. Поэтому \angle AEF+\angle ADF=180^{\circ}
.
Поскольку AEF
— внешний угол треугольника ABE
, то
\angle ABE=\angle AEF-\angle BAE=(180^{\circ}-\angle ADF)-\angle CDF=
=180^{\circ}-(\angle ADF+\angle CDF)=180^{\circ}-\angle ADC.
Значит, четырёхугольник ABCD
— вписанный. Поэтому \angle BAC=\angle BDC
. Следовательно,
\angle FAC=\angle BAC-\angle BAE-\angle EAF=\angle BDC-\angle CDF-\angle FDE=\angle EDB,
что и требовалось доказать.