6534. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
и точка O
внутри него. Известно, что \angle AOB=\angle COD=120^{\circ}
, AO=OB
и CO=OD
. Пусть K
, L
и M
— середины отрезков AB
, BC
и CD
соответственно. Докажите, что а) KL=LM
; б) треугольник KLM
— правильный.
Решение. Пусть N
и P
— середины отрезков BO
и CO
соответственно. Тогда KN
и MP
— средние линии треугольников AOB
и COD
, а NL
и LP
— средние линии треугольника BOC
. Поэтому
KN=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}BO=LP,~LN=\frac{1}{2}CO=\frac{1}{2}DO=MP,
\angle KNL=\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC=\angle BOD=\angle LPM.
Значит, треугольники KNL
и LPM
равны по двум сторонам и углу между ними.
Кроме того
\angle KLM=\angle KLN+\angle NLP+\angle PLM=
=\angle KLN+\angle BNL+\angle NKL=180^{\circ}-\angle BNK=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Таким образом в треугольнике KLM
равны стороны KL
и LM
, а \angle KLM=60^{\circ}
. Следовательно, этот треугольник — равносторонний.