6561. Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек — внешние концы построенных отрезков — различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник — квадрат.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, а A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}D_{1}D_{2}
— полученный восьмиугольник, O
— центр описанной около него окружности радиуса R
. Тогда точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
(AA_{1}=BB_{2}
). Аналогично, точка O
лежит на серединном перпендикуляре ко всем сторонам четырёхугольника ABCD
, т. е. является центром описанной около него окружности (пусть r
— её радиус). Тогда
OA_{1}=OC_{2}=R,~OA=OC=r,
значит, треугольники OAA_{1}
и OCC_{2}
равны по трём сторонам. Отсюда следует, что \angle OA_{1}A=\angle OC_{2}C
. Поэтому равны равнобедренные треугольники OA_{1}B_{2}
и OC_{2}B_{1}
, откуда A_{1}B_{2}=C_{2}B_{1}
, т. е. AB=BC
. Аналогично докажем, что BC=CD=DA
, т. е. ABCD
— ромб, а так как он вписан в окружность, то это — квадрат.