6563. Пусть точка A'
лежит на одной из сторон трапеции ABCD
, причём прямая AA'
делит площадь трапеции пополам. Точки B'
, C'
и D'
определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD
и A'B'C'D'
симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD
.
Решение. Заметим, что точки A'
, B'
, C'
и D'
определяются единственным образом.
Пусть AD
— большее, а BC
— меньшее основание трапеции ABCD
, M
— середина её средней линии PQ
(точка P
лежит на стороне AB
). Пусть прямые CM
и AD
пересекаются в точке C'
(рис. 1). Поскольку MQ
— средняя линия треугольника CC'D
, то C'D=2MQ=PQ
. Значит, S_{\triangle CC'D}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
. Таким образом, точка C'
— одна из четырёх точек, о которых говорится в условии задачи. При этом, так как AD
— большее основание трапеции, то AD\gt PQ=C'D
, т. е. точка C'
лежит на отрезке AD
.
Проведя прямую BM
, можно аналогично построить точку B'
. Она также окажется на основании AD
.
Пусть прямая, проведённая через точку C'
параллельно диагонали AC
, пересекает сторону CD
в точке A'
(рис. 2). Рассмотрим трапецию ACA'C'
. Пусть её диагонали пересекаются в точке T
. Поскольку треугольники ATC'
и CTA'
равновелики, то равновелики и треугольники CC'D
и AA'D
, причём площадь каждого из двух последних треугольников равна половине площади трапеции. Аналогично строится четвёртая точка D'
.
Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
соответственно параллельны диагоналям A'C'
и B'D'
четырёхугольника A'B'C'D'
(рис. 3), а так как середина M
отрезка CC'
равноудалена от прямых AC
и A'C'
(а также от прямых BD
и B'D'
), то прямые A'C'
и B'D'
симметричны прямым AC
и BD
относительно середины M
средней линии трапеции ABCD
. Поскольку диагонали четырёхугольников ABCD
и A'B'C'D'
симметричны относительно точки M
, то и точки их пересечения E
и F
симметричны относительно M
.